Recta Tangente

Tangente

Tangente a una curva. La línea roja es tangente a la curva en el punto marcado con un punto rojo.

En geometría , la línea tangente (o simplemente la tangente) a una curva en un determinado punto es la línea recta que “sólo toca” la curva en ese punto (en el sentido expuesto con mayor precisión más adelante). Al pasar por el punto donde la recta tangente y la curva de la reunión, o el punto de tangencia, la línea tangente es “ir en la misma dirección”, como la curva, y en este sentido es la mejor aproximación lineal a la curva en ese punto. La misma definición se aplica a las curvas en el espacio y las curvas de n-dimensional del espacio euclidiano .

Del mismo modo, el plano tangente a una superficie en un punto dado es el plano que “sólo toca” la superficie en ese punto. El concepto de la tangente es una de las nociones más fundamentales de la geometría diferencial y ha sido ampliamente generalizada, ver el espacio tangente .

La palabra “tangente” viene del latín tangens , que significa “tocar”.

Línea tangente a una curva

Una tangente, una cuerda , y un secante a un círculo

La idea intuitiva de que una línea tangente “sólo toca” una curva puede ser más explícito al considerar la secuencia de líneas rectas ( líneas secantes ) que pasa por dos puntos, A y B, los que se encuentran en la curva de función. La tangente en A es el límite cuando el punto B se aproxima o tiende a A. La existencia y unicidad de la recta tangente depende de un cierto tipo de suavidad matemática, conocida como “diferenciabilidad.” Por ejemplo, si dos arcos se encuentran en un punto agudo (un vértice) entonces no hay definido únicamente tangente en el vértice, porque el límite de la progresión de las líneas secantes depende de la dirección en la que “el punto B” se acerca a la cima.

En la mayoría de los casos, la tangente a una curva no cruza la curva en el punto de tangencia (aunque podrá, si continúa, cruza la curva en otros lugares lejos del punto de la tangente) Este es el caso, por ejemplo, de todas las tangentes a un círculo o una parábola . Sin embargo, en los puntos excepcionales llamados puntos de inflexión , la recta tangente atraviesa la curva en el punto de tangencia. Un ejemplo es el punto (0,0) en la gráfica de la parábola y = x 3 cúbicos.

Por el contrario, puede ocurrir que la curva se encuentra por completo en un lado de una línea recta que pasa por un punto sobre ella, y sin embargo, esta línea recta no es una línea tangente. Este es el caso, por ejemplo, para una línea que pasa por el vértice de un triángulo y no se cruzan en el triángulo, donde la recta tangente no existe por las razones explicadas anteriormente. En geometría convexa , estas líneas se llaman líneas de apoyo .

Enfoque analítico

La idea geométrica de la recta tangente como el límite de las líneas secantes sirve de motivación para los métodos analíticos que se utilizan para encontrar rectas tangentes explícitamente. La cuestión de encontrar la línea tangente a un gráfico, o el problema de la línea tangente, fue una de las cuestiones centrales que conducen a la elaboración de cálculo en el siglo 17. En el segundo libro de su geometría , René Descartes [1] dijo que el problema de la construcción de la tangente a una curva, “Y me atrevo a decir que esto no es sólo el problema más útil y más general en la geometría, que yo sepa, pero incluso que he deseado conocer “. [2] descripción intuitiva

Supongamos que una curva se da como la gráfica de una función , y = f (x). Para encontrar la línea tangente en el punto p = (a, f (a)), considerar otra q lugares = (a + h, f (a + h)) en la curva. La pendiente de la recta secante que pasa por p y q es igual al cociente de la diferencia

A medida que la letra q p enfoques, que corresponde a lo que h más y más pequeños, el cociente de la diferencia deben acercarse a un determinado valor de k limitante, que es la pendiente de la recta tangente en el punto p. Si k es conocido, la ecuación de la recta tangente se puede encontrar en la forma punto-pendiente:

rigurosa descripción más

Para que el razonamiento anterior riguroso, hay que explicar qué se entiende por el cociente de diferencias llegando a un cierto valor de k limitante. La formulación matemática precisa fue dado por Cauchy en el siglo 19 y se basa en la noción de límite . Suponga que la gráfica no tiene un descanso o un borde afilado en p y no es ni plomo ni demasiado cerca de p saltones. Luego hay un valor único de k tal que cuando h 0, el cociente de la diferencia se acerca más y más cerca de k, y la distancia entre ellos se convierte en insignificante en comparación con el tamaño de la h, si h es suficientemente pequeño. Esto lleva a la definición de la pendiente de la recta tangente a la gráfica como el límite de los cocientes diferencia de la función f. Este límite es la derivada de la función f en x = a, denotada f ‘(a). Uso de derivados, la ecuación de la recta tangente puede enunciarse como sigue:

Cálculo establece normas para el cálculo de las derivadas de las funciones que vienen dadas por fórmulas, como la función de potencia , funciones trigonométricas , función exponencial , logaritmo , y sus diversas combinaciones. Por lo tanto, las ecuaciones de las tangentes a las gráficas de todas estas funciones, así como muchos otros, se pueden encontrar por los métodos de cálculo. ¿Cómo el método puede fallar

Cálculo también demuestra que hay funciones y puntos en sus gráficos para que el límite para determinar la pendiente de la recta tangente no existe. Para estos puntos de la función f no es diferenciable. Hay dos posibles razones para el método de búsqueda de las tangentes sobre la base de los límites y derivados a fallar: o bien existe la tangente geométrica, pero es una línea vertical, que no se puede dar en la forma punto-pendiente, ya que no tiene pendiente, o la muestra gráfica de uno de los tres comportamientos que se opone a una tangente geométrica.

La gráfica y = x 1 / 3 ilustra la primera posibilidad: aquí el cociente de la diferencia en un 0 = h es igual a 1 / 3 / h = h −2 / 3, que se hace muy grande cuando h 0. La recta tangente a la curva en el origen está en posición vertical.

La gráfica y = | x | del valor absoluto de la función se compone de dos líneas rectas con diferentes pendientes se unió en el origen. Como q se acerca al punto de origen desde la derecha, la recta secante siempre tiene pendiente 1. Como q se acerca al punto de origen de la izquierda, la recta secante siempre tiene pendiente −1. Por lo tanto, no existe una única tangente a la curva en el origen. Tener dos diferentes (pero finito) pendientes se llama un saque de esquina.

Una cúspide se produce cuando la pendiente tiende a infinito. Esto puede significar un lado de la gráfica tiene una pendiente que tiende a infinito, más o menos, mientras que la otra vertiente es finito. También puede significar pendientes de ambas partes tiende a infinito positivo o infinito negativo.

Por último, desde diferenciabilidad implica continuidad, la contraposición discontinuidad de los Estados implica la no diferenciabilidad. Tal cualquier salto o discontinuidad punto no tendrá recta tangente. Esto incluye los casos en que una pendiente tiende a infinito positivo, mientras que los otros enfoques menos infinito, dando lugar a una discontinuidad de salto infinito. Ecuaciones

Cuando la curva está dada por y = f (x), entonces la pendiente de la tangente es \ Frac {dy} {dx} así, por la fórmula de punto-pendiente de la ecuación de la recta tangente en (x, y) es

    Y-y = \ frac {dy} {dx} (X-x)

donde (X, Y) son las coordenadas de un punto sobre la línea. [3]

Cuando la ecuación de la curva se da en la de f (x, y) = 0, entonces el valor de la pendiente se puede encontrar por derivación implícita , dando

    \ Frac {dy} {dx} =- \ frac {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} {\ frac {\ partial f} y {\ partial}}.

La ecuación de la recta tangente es entonces [3]

    \ Frac {\ partial f} {\ partial x} (xx) + \ frac {\ partial f} {y \} parcial (Yy) = 0.

Para las curvas algebraicas , cálculos se pueden simplificar en cierta medida por la conversión de coordenadas homogéneas . En concreto, vamos a la ecuación homogénea de la curva de ser g (x, y, z) = 0, donde g es una función homogénea de grado n. Entonces, si (x, y, z) se encuentra en la curva, el teorema de Euler implica

    \ Frac {g \ partial} {\ partial x} x + \ frac {g \ partial} {\ partial y} y + \ {g \ partial} frac {\ partial z} z = ng (x, y, z) = 0 .

De ello se deduce que la ecuación homogénea de la recta tangente es

    \ {G \ partial} frac {\ partial x} x + \ frac {g \ partial} {y \} parcial Y + \ frac {\ partial g} {\ partial z} Z = 0.

La ecuación de la recta tangente en coordenadas cartesianas se puede encontrar mediante el establecimiento de Z = 1 en esta ecuación. [4]

Para aplicar esto a las curvas algebraicas, escribir f (x, y) como

    u_n f = + u_ {n-1} + \ dots + + U_1 u_0 \,

donde cada u r es la suma de todos los términos de grado r. La ecuación homogénea de la curva es a continuación

    g = u_n + u_ {n-1} z + \ dots + U_1 z ^ {n-1} + u_0 n ^ z = 0. \,

Aplicando la ecuación anterior y el establecimiento de Z = 1 produce

    \ Frac {\ partial f} {\ partial x} x + \ frac {\ partial f} {y \} parcial Y + u_ {n-1} + \ dots + (n-1) + U_1 nu_0 = 0

como la ecuación de la recta tangente. [5] La ecuación de esta forma a menudo es más fácil de usar en la práctica, ya que no es necesaria una mayor simplificación después de su aplicación. [4]

Si la curva está dada paramétricamente por

    x = x (t) y, \ quad = y (t)

entonces la pendiente de la tangente es

    \ Frac {dy} {dx} = \ frac {\ frac {dy} {dt}} {\ frac {dx} {dt}}

dando la ecuación de la recta tangente: [6]

    \ Frac {dx} {dt} (Y-y) = \ frac {dy} {dt} (X-x)

Línea normal a una curva

La línea perpendicular a la recta tangente a una curva en el punto que se llama la línea normal a la curva en ese punto. Las pendientes de rectas perpendiculares tienen producto −1, por lo que si la ecuación de la curva es y = f (x), entonces pendiente de la recta normal es

    - \ Frac {1} {\ frac {dy} {dx}}

y se deduce que la ecuación de la recta normal es

    (X-x) + \ frac {dy} {dx} (Y-y) = 0.

Del mismo modo, si la ecuación de la curva tiene la forma f (x, y) = 0 entonces la ecuación de la recta tangente viene dada por [7]

    \ Frac {\ partial f} {y \} parcial (XX) - \ frac {\ partial f} {\ partial x} (Yy) = 0.

Si la curva está dada paramétricamente por

    x = x (t) y, \ quad = y (t)

entonces la ecuación de la recta normal es [6]

    \ Frac {dx} {dt} (X-x) + \ frac {dy} {dt} (Y-y) = 0.

Ángulo entre las curvas Ver también: Angulo # ángulo entre las curvas

El ángulo entre dos curvas en un punto donde se cruzan se define como el ángulo entre sus rectas tangentes en ese punto. Más concretamente, dos curvas se dice que son tangentes en un punto si tienen la misma tangente en un punto, y ortogonal si sus rectas tangentes son ortogonales. [8] Múltiples tangentes en el origen El trisectriz Limaçon, una curva que tiene dos tangentes en el origen.

Las fórmulas anteriores no cuando el punto es un punto singular . En este caso puede haber dos o más ramas de la curva que pasa por el punto, cada rama tiene su propia línea de la tangente. Cuando el punto es el origen, las ecuaciones de estas líneas se puede encontrar en las curvas algebraicas de integrar la ecuación formada por la eliminación de todos, pero el grado más bajo términos de la ecuación original. Desde cualquier punto puede ser el origen de un cambio de variables, esto le da un método para encontrar la línea tangente en cualquier punto singular.

Por ejemplo, la ecuación de la Limaçon trisectriz muestra a la derecha es

    (X ^ 2 + y 2–2ax) ^ 2 = a ^ 2 (x ^ 2 + y 2). \,

La ampliación de esta y la eliminación de todos, pero da a los términos de grado 2

    a ^ 2 (3x ^ ^ 2-y 2) = 0 \,

que, cuando se consideran, se convierte en

    y = \ pm \ sqrt {3} x.

Así que estas son las ecuaciones de las dos rectas tangentes a través del origen. [9] Círculos tangentes

Dos pares de círculos tangentes. Por encima y por debajo internamente tangente exterior

Dos círculos de radio no la igualdad, tanto en el mismo plano, se dice que son tangentes entre sí, si se reúnen en un solo punto. De manera equivalente, dos círculos , con radios de i r y centros en (x i, y i), para i = 1, 2 se dice que son tangentes entre sí, si

    

Dos círculos son externamente tangente si la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios.

   

Dos círculos son internamente tangente si la distancia entre sus centros es igual a la diferencia entre sus radios. [10]

    

Las superficies y dimensiones múltiples de mayor Artículo principal: Espacio Tangente

El plano tangente a una superficie en un punto p dado se define de manera análoga a la recta tangente en el caso de las curvas. Es la mejor aproximación de la superficie por un plano en p, y puede ser obtenida como la posición límite de los planos que pasa por tres puntos distintos en la superficie cerca de p ya que estos puntos convergen a p. En términos más generales, hay un k-dimensional espacio tangente en cada punto de un k-dimensional múltiple en la n-dimensional del espacio euclidiano .

Tangent. (2011, March 27). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 21:30, May 1, 2011, from http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tangent&oldid=420917352

Recta Tangente

En matemáticas, la palabra tangente tiene dos significados diferentes, pero etimológicamente relacionados: uno en geometría y otro en trigonometría. Cuando tiene relacion con una circunferencia, se refiere a una linea que solo tiene un punto en comun con la circunferencia, es decir que solo choca con un solo punto. Al punto donde choca la recta se le llama punto de tangencia.

Tangente. (2008, 14) de octubre. Wikipedia, La enciclopedia libre. Fecha de consulta: 06:39, octubre 23, 2008 from http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Tangente&oldid=20948649.







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