El objetivo principal es entender mejor lo que son los números, se supone que un estudiante de secundaria tiene más de 8 años manejando los números; pero muchas veces lo considera algo tan común que no logra apreciar su complejidad y su alcance.
Historia
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass. Ver http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
Los números naturales son utilizados principalmente para contar, desde niño el ser humano puede ir asociando diariamente a los números con los objetos que ve, y con actividades cotidianas. Ver Significado y uso de las operaciones.
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Debemos de saber qué son pero lo más importante es que debemos de poder utilizarlos, así que los números se explican en función del uso que les damos.
Quien logró dar una explicación muy formal y al mismo tiempo muy práctica de los números naturales fue el matemático italianao Giuseppe Peano http://es.wikipedia.org/wiki/Peano, se cominenza con un número inicial que puede ser el cero o el uno, y se toma lo que Peano llamó su sucesor, que es el número que se obtiene si se le agrega uno, después tomas el sucesor de este, el siguiente y de esta forma se van obteniendo los números.
Así, el sucesor de 0 es 1, el sucesor de 1 es 2, el sucesor de 2 es 3, etc.
Bueno, eso todos lo sabemos, además es una idea bastante simple y parece que no tiene nada de sorprendente. Sin embargo lo asombroso es que que con esta idea tan sencilla propuso 5 propiedades que describen formal a los números naturales y lo más importante que nos dán una manera simple y práctica de utilizarlos en matemáticas y en computación (y eso que todavía no se inventaban las computadoras). Ver http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_Peano.
De esta manera los números naturales son:
Naturales: N = {0,1,2,3,…}
Enteros Positivos: N+ = {1,2,3,…}
Nota: Muchas personas consideran que el 0 no es un número natural, lo que sucede es que muchas veces conviene empezar en cero y otras en uno. Así como los números son convencionales, se puede incluir según convenga. es importante aclarar que Peano si incluyó al cero como número natural.
Pero los números son mucho más que esto, debemos poder sumar, multiplicar, resolver ecuaciones, en general utilizarlos. Bueno, como ya se dijo anteriormente Peano fue muy importante porque construyó toda el álgebra de los números en base a la idea de sucesor.
Aquí podemos preguntar, qué otras cosas debemos saber de los números para poder utilizarlos en secundaria.
Los matemáticos han comprobado miles de propiedades de los números, pero lo sorprendente es que con unas pocas propiedades que nos sepamos es suficienta para poder manejar toda el álgebra de los números. Ver Propiedades Naturales.
De los Axiomas de Peano, que definen los números reales lo importante es recordar que Todo número natural tiene un sucesor y se obtiene sumándole 1 .
De las propiedades de la igualdad es importante recordar que la igualdad es como una balanza, debemos agregar lo mismo de los dos lados para que no se altere.
De la propiedades albebraicas debemos recordar las propiedes la conmutativa: el orden de la operación no altera el resultado, la Ley del Mosquetero y las leyes de Cancelación como una combinación de los elementos neutros y los inversos.
En sorprendente que sabiendo y manejando perfectamente bien las 3 propiedades anteriores casi la totalidades de pasos algebraicos que se necesitan para hacer una carrera de Ingeniería sobre manejo de los números están incluidas.
Así que lo importante es aprendernos bien estas 3 propiedades, relacionarlas con las demás y practicar para que de manera automática cualquier paso en un procedimiento salga como consecuencia de ellas, pero lo más importante es que dicho procedimiento se entenderá mejor si lo podemos hacer de esta forma.
Por supuesto la otra manera es aprendernos de memoria todas las propiedades de aritmética y álgebra sin relacionarlas una con otra y utilizarlas cuando se necesiten esperando que no nos falle la memoria.
Nota:Esto no quiere decir que solo me tengo que aprender 3 propiedades y ninguna otra para poder hacer cualquier procedimiento algebraico, lo que estamos indicando es que cualquier propiedad debe de relacionarse con las propiedades básicas anteriores y en lugar de memorizarla simplemente se debe atar a estas que tenemos y poder encontrar una forma de recordarla o deducirla utilizando las propiedades básicas. esto además de que es más simple, pues no estamos aprendiendo cosas completamente nuevas, tiene una manera de verificarse en caso de que nos falle la memoria.